Un viejo conocido

Seguro que el término máximo común divisor te suena familiar. Es uno de los temas que la SEP contempla como aprendizajes esperados en tercero de secundaria1. Dados dos números naturales distintos de cero (es decir los que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5, …), su máximo común divisor (MCD) es el número más grande que divide a ambos.

Así, por ejemplo, el MCD de 14 y 35 es 7. No hay ningún número mayor a 7 que divida a ambos números. Y como a la gente que estudia matemáticas no le gusta escribir de más (me incluyo), inventaron una notación resumida para expresar esto (14; 35) = 7. Elegante, ¿no? Un par de ejemplos extras:

(21; 21) = 21

(44; 11) = 11

(32; 72) = 8

La teoría de números es la rama de las matemáticas encargada de estudiar la divisibilidad. Y vaya que se han obtenido bastantes resultados al respecto. (Y si no me creen deberían ver la tarea kilométrica que me dejaron al respecto hace un par de semestres) En esta primera entrada de La Matriz abordaremos dos de ellos, fáciles de comprender y con un poco de suerte, más interesantes que aquellos que nos presentaron en secundaria.

El primero es inmediato, casi obvio. Nos habla de que no importa el orden en que tomemos dos números, su MCD es el mismo. Así, (14; 35) = (35; 14) = 7. Más aún, generalizando un poco podemos obtener el MCD de tres números naturales distintos de cero (o de cualquier cantidad finita de ellos) y esto sigue siendo válido. Por ejemplo:

(34; 17; 2) = (2; 17; 34) = (17; 2; 34) = 2.

Ahora, pasemos a algo más atractivo, aunque un poco más complicado (así suele suceder en matemáticas). Antes, conviene saber que si el MCD de dos números es 1, se dice que estos son “primos relativos”. Pues bien, resulta ser que el 1 es combinación lineal de cualquier pareja de primos relativos. ¿Y en español? Bueno, pues que existe un múltiplo del primer número y otro múltiplo del segundo número tales que sumados o restados nos dan como resultado 1. Veamos un ejemplo.

(11; 28) = 1, es decir 11 y 28 son primos relativos. Sabemos que 55 es múltiplo de 11, pues 11*5 = 55. Asimismo 28*2 = 56. Y además 56 – 55 = 1. Sorprendente.

Y, más en general, podemos obtener el MCD de cualquier pareja de números sumando o restando un múltiplo del primero con un múltiplo del segundo. Recordemos los ejemplos del segundo párrafo:

(14; 35) = (35; 14) = 7 = 35 – 28 = 35*1 – 14*2.

(21; 21) = 21 = 21 + 0 = 21*1 + 21*0

(44; 11) = 11 = 44 – 33 = 44*1 – 11*3

(32; 72) = (72; 32) = 8 = 72 – 64 = 72*1 – 32*2

Para pensar: cuando definimos al MCD pedimos a los números con los que trabajamos que sean diferentes de cero. (Ver primer párrafo) Con un poco de cuidado podemos extender la definición y también considerar números negativos (-1, -2, -3, …). Sin embargo, existe una razón por la que no podemos definir al MCD de una pareja de números que contenga al cero. ¿Se te ocurre cuál?

1. Aprendizajes clave, Secretaría de Educación Pública. https://www.planyprogramasdestudio.sep.gob.mx/sec-ae-pensamiento-mate3.html